Urodził się 20 czerwca 1898 roku we wsi Zagórzany w powiecie gorlickim (obecnie województwo małopolskie) w rodzinie nauczycieli. W 1917 roku ukończył gimnazjum w Krakowie. Studiował polonistykę i slawistykę na Uniwersytecie Jagiellońskim (1917–1921), gdzie uczestniczył w wykładach Jana Rozwadowskiego (1867–1935), Kazimierza Nitscha (1874–1958) oraz Jana Łosia (1860–1928). Pod kierunkiem Łosia w 1922 roku uzyskał na Uniwersytecie Jagiellońskim stopień doktora na podstawie rozprawy Imiesłowy czynne, teraźniejszy i przeszły I w języku polskim. W 1925 roku na tej samej uczelni uzyskał habilitację na podstawie pracy Najdawniejsze polskie imiona osobowe. W latach 1922–1928 pracował jako lektor języka bułgarskiego i asystent w Katedrze Językoznawstwa Indoeuropejskiego Uniwersytetu Jagiellońskiego, a w 1928 roku – jako asystent profesora na Uniwersytecie Stefana Batorego w Wilnie.

Jesienią 1929 roku kierownik Katedry Filologii Słowiańskiej Uniwersytetu Lwowskiego Tadeusz Lehr‑Spławiński (1891–1965), który przeniósł się na Uniwersytet Jagielloński, zaproponował Taszyckiemu objęcie kierownictwa Katedry Filologii Słowiańskiej we Lwowie. W listopadzie 1929 roku Taszyckiego mianowano profesorem nadzwyczajnym Uniwersytetu Lwowskiego. W latach 1929–1936 kierował Katedrą Filologii Słowiańskiej. Po śmierci w 1935 roku kierownika Katedry Języka Polskiego Uniwersytetu Lwowskiego Henryka Karola Gaertnera (1892–1935), Taszyckiemu powierzono kierownictwo tej katedry; w kwietniu 1936 roku objął stanowisko profesora zwyczajnego. Taszycki kierował Katedrą Języka Polskiego w latach 1936–1941, pozostając na tym stanowisku również po zajęciu Lwowa przez Armię Czerwoną jesienią 1939 roku i reorganizacji Uniwersytetu Lwowskiego.

W latach 1941–1944, podczas niemieckiej okupacji Lwowa, pracował jako nauczyciel w lwowskich szkołach zawodowych i prowadził tajne nauczanie. Po zakończeniu II wojny światowej w kwietniu 1945 roku wyjechał do Polski.

W latach 1945–1946 był zatrudniony na Uniwersytecie Mikołaja Kopernika w Toruniu oraz na Uniwersytecie Wrocławskim. W latach 1946–1968 wykładał na Uniwersytecie Jagiellońskim, gdzie kierował Katedrą Onomastyki Słowiańskiej (1946–1952) i Katedrą Języka Polskiego (1952–1968). Po utworzeniu w 1953 roku przez Polską Akademię Nauk Zakładu Językoznawstwa w Krakowie kierował w tej jednostce Pracownią Onomastyczną, a w latach 1962–1968 stał na czele Zakładu Językoznawstwa PAN w Krakowie, z którego wywodzi się późniejszy Instytut Języka Polskiego PAN.

Dorobek naukowy Taszyckiego obejmuje ponad 350 rozpraw, artykułów, recenzji itp., z których około 100 przygotował i opublikował podczas pracy we Lwowie. Jego zainteresowania naukowe obejmowały: dialektologię, onomastykę i toponimikę słowiańską oraz rozwój piśmienności słowiańskiej. Do jego najważniejszych prac należą: Polskie nazwy osobowe (Kraków, 1924), Najdawniejsze polskie imiona osobowe (Kraków, 1926), Najdawniejsze zabytki języka polskiego (Kraków, 1927), Apostołowie Słowian św. Cyryl i Metody (Lwów, 1933), Nasza mowa ojczysta (Lwów, 1933), Gwary ludu polskiego (Lwów, 1934), Patronimiczne nazwy miejscowe na Mazowszu (Kraków, 1947), Dawność t. zw. mazurzenia w języku polskim (Warszawa, 1948), Onomastyka (Wrocław, 1958), Historia języka polskiego (Wrocław, 1965), Onomastyka i historia języka polskiego (Wrocław, 1968).

Od 1939 roku został redaktorem naukowym serii wydawniczej „Rozprawy z Onomastyki Słowiańskiej”. W 1955 roku założył czasopismo naukowe „Onomastica”, którego przez wiele lat (do tomu 20.) był redaktorem naczelnym.

W okresie pracy na Uniwersytecie Lwowskim przedstawił koncepcję opracowania słownika staropolskich nazw osobowych i rozpoczął gromadzenie materiałów do niego; Słownik staropolskich nazw osobowych wydano już w okresie powojennym, pierwsze tomy powstały pod kierunkiem Taszyckiego (lata 1965–1973), a kolejne (IV–VII, wydane w latach 1974–1987) opracowano w Pracowni Antroponimicznej Instytutu Języka Polskiego PAN pod kierunkiem Marii Malec. Wspólnie ze Stanisławem Jodłowskim (1902–1979), który również pracował na Uniwersytecie Lwowskim, Taszycki opracował i opublikował Zasady pisowni polskiej i interpunkcji ze słownikiem ortograficznym (Lwów, 1936), które były wznawiane i wykorzystywane w dydaktyce szkolnej w Polsce do połowy lat 70. XX wieku.

Uczniami Taszyckiego na Uniwersytecie Lwowskim byli znani później językoznawcy Stefan Hrabec (1912–1972), Przemysław Zwoliński (1914–1981), Karol Dejna (1911–2011), literaturoznawca Marian Jakóbiec (1910–1998), historyk Ludwik Bazylow (1915–1985), ukraiński slawista i językoznawca Jarosław Rudnycʹkyj (1910–1995), a także pisarz i poeta Jerzy Hordyński (1919–1998).

Zmarł 8 sierpnia 1979 roku w Krakowie.