Urodził się 27 stycznia 1884 roku w Przemyślu w rodzinie urzędnika. Ukończył Gimnazjum św. Anny w Krakowie (1902). Studiował filologię germańską, klasyczną i polską na Uniwersytecie Jagiellońskim (1902–1903) oraz na Uniwersytecie Lwowskim (1903–1906). Na Uniwersytecie we Lwowie uczęszczał na wykłady Romana Pilata (1846–1906), Piotra Chmielowskiego (1848–1904), Józefa Kallenbacha (1861–1929), Wilhelma Bruchnalskiego (1859–1938), Richarda Wernera (1854–1913). W 1909 roku uzyskał stopień doktora na Uniwersytecie Lwowskim. W latach 1909–1913 kontynuował edukację, odbywając okresowe podróże do Niemiec (Berlin, Drezno, Halle, Lipsk), Szwajcarii (Zurych), Francji (Paryż).

W 1906 roku pracował jako nauczyciel w II Gimnazjum we Lwowie, w latach 1906–1909 – w gimnazjum w Stryju, a w latach 1909–1922 – w IV Gimnazjum we Lwowie. W 1921 roku uzyskał habilitację na Uniwersytecie Lwowskim na podstawie pracy Postyllografia polska XVII i XVIII w. Po habilitacji w latach 1921–1922 wykładał na Uniwersytecie Lwowskim, a następnie otrzymał zaproszenie do pracy na Uniwersytecie Stefana Batorego w Wilnie. W latach 1922–1933 był profesorem nadzwyczajnym w Katedrze Historii Literatury Polskiej na Uniwersytecie Wileńskim.

W 1933 roku powrócił do pracy na Uniwersytecie Lwowskim, obejmując kierownictwo katedry, którą wcześniej kierował Bruchnalski. W latach 1933–1939 Kolbuszewski pełnił funkcję kierownika Katedry Dawnej Literatury Polskiej (Historii Literatury Polskiej I) Uniwersytetu Lwowskiego. W roku akademickim 1935/1936 był dziekanem, a w roku akademickim 1936/1937 prodziekanem Wydziału Humanistycznego Uniwersytetu Lwowskiego.

Po zajęciu Lwowa jesienią 1939 roku przez Związek Radziecki, w latach 1939–1941 kierował Katedrą Filologii Niemieckiej Uniwersytetu im. Iwana Franki we Lwowie. Jednocześnie nadal prowadził wykłady dla studentów katedry polonistyki pod kierunkiem Juliusza Kleinera (Юліуш Кляйнер, 1886–1957).

Zainteresowania naukowe Kolbuszewskiego obejmowały literaturę polską dawną i nowożytną, w szczególności twórczość Słowackiego i Krasińskiego.

Do najważniejszych publikacji Kolbuszewskiego należą: Postyllografia polska XVII i XVIII w. (Kraków, 1921), Z dziejów krytyki literackiej w czasopismach emigracyjnych (1836–1848) (Wilno, 1924), Poglądy polityczne Starowolskiego (Kraków, 1928), Proza polska XVI w. (Kraków, 1932), Polskie piśmiennictwo reformacyjne na ziemiach W. Księstwa Litewskiego (Wilno, 1935). Oprócz prac badawczych Kolbuszewski opublikował Pamiętniki Jana Chryzostoma Paska (J. Ch. Pasek. Pamiętniki. Do użytku szkolnego opracował, opatrzył wstępem i objaśnieniami K. Kolbuszewski. Lwów, 1914) oraz zbiór Poezja barska (Poezja barska. Zebrał, opatrzył wstępem i objaśnieniami K. Kolbuszewski. Kraków, 1928).

Kolbuszewski aktywnie uczestniczył w życiu kulturalnym i społecznym Lwowa. Był członkiem zarządu, skarbnikiem i wiceprzewodniczącym Towarzystwa Literackiego im. A. Mickiewicza. Od 1934 roku był członkiem komitetu redakcyjnego, a w latach 1937–1939 redaktorem czasopisma tego stowarzyszenia – „Pamiętnik Literacki”, które redagował wspólnie z Eugeniuszem Kucharskim (1880–1952) oraz Stanisławem Łempickim (1886–1947).

W czasie niemieckiej okupacji Lwowa brał udział w tajnym nauczaniu. We wrześniu 1942 roku został aresztowany przez hitlerowców za ukrywanie Żydów.

Zginął 20 lutego 1943 roku w niemieckim obozie koncentracyjnym Majdanek pod Lublinem.