Urodził się 24 kwietnia 1886 roku we Lwowie w rodzinie zasymilowanych Żydów. Ukończył IV Gimnazjum we Lwowie (1897–1904). Studiował polonistykę, germanistykę i filozofię na Uniwersytecie Lwowskim (1904–1908). Był uczniem Romana Pilata (1846–1906), Wilhelma Bruchnalskiego (1859–1938), Józefa Kallenbacha (1861–1929), Emila Petzolda (1859–1932) i Kazimierza Twardowskiego (1866–1938). W trakcie studiów na uniwersytecie został stypendystą Narodowego Zakładu im. Ossolińskich we Lwowie (1905–1908). Kierował kółkami studentów filologii Uniwersytetu Lwowskiego zajmującymi się polonistyką (1904–1906) oraz germanistyką (1906–1908). W 1908 roku obronił na Uniwersytecie Lwowskim pracę doktorską Studia o Słowackim. Studiował w Berlinie (1909–1910) i Paryżu (1910–1911), gdzie uczęszczał na wykłady Henriego Bergsona (1859–1941). W 1912 roku uzyskał habilitację na Uniwersytecie Lwowskim na podstawie pracy Zygmunt Krasiński. Dzieje myśli.

W latach 1909 oraz 1911–1915 wykładał kolejno w VII i VI Gimnazjum we Lwowie. W latach 1912–1916 był wykładowcą Uniwersytetu Lwowskiego, a od 1913 roku. wykładał również na Politechnice Lwowskiej. W latach 1916–1920 pracował jako profesor zwyczajny w Katedrze Literatury Polskiej Uniwersytetu Warszawskiego. Mieszkając w Warszawie, był także wykładowcą w Studium Pedagogicznym Wolnej Wszechnicy Polskiej.

W kwietniu 1920 roku powrócił do Lwowa, aby objąć kierownictwo katedry, którą rok wcześniej opuścił Kallenbach. W latach 1920–1939 oraz 1939–1941 był profesorem zwyczajnym na Uniwersytecie Lwowskim, wykładał historię literatury polskiej. W roku akademickim 1927/1928 pełnił funkcję dziekana Wydziału Humanistycznego. W latach 1934–1946 był przewodniczącym Towarzystwa Literackiego im. A. Mickiewicza.

Учнями Кляйнера під час його роботи у Львівському університеті були: Рафал Марцелій Блют (Rafał Marceli Bluth, 1891–1939), Стефанія Скварчинська (Stefania Skwarczyńska, 1902–1988), Стефан Кавин (Stefan Kawyn, 1904–1968), Владислав Флоріян (Władysław Floryan, 1907–1991).

Badał historię i teorię literatury oraz filozoficzne aspekty polskiego romantyzmu; zajmował się twórczością Zygmunta Krasińskiego, Juliusza Słowackiego, Adama Mickiewicza, Ignacego Krasickiego, Aleksandra Fredry i innych. Sformułowane przez Kleinera poglądy na temat badań nad polskim romantyzmem stały się podstawą dalszych studiów nad tym okresem literackim w dwudziestoleciu międzywojennym.

Do najważniejszych prac Kleinera należą: Zygmunt Krasiński. Dzieje myśli (T. 1–2. Lwów, 1912), Charakter i przedmiot badań literackich (Warszawa, 1913), Analiza dzieła (Lwów, 1914), Juliusz Słowacki. Dzieje twórczości (T. 1–4, Warszawa, 1919–1927), Literatura polska (Die polnische Literatur. Potsdam, 1929), Zarys dziejów literatury polskiej (T. 1–2. Lwów, 1932), Historyczność i pozaczasowość w dziele literackim (Lwów, 1936), O Krasickim i o Fredrze. Dziesięć rozpraw (Wrocław, 1956). W latach 1924–1933 Kleiner przygotował do druku 10 tomów krytycznego wydania naukowego dzieł Słowackiego (J. Słowacki. Dzieła wszystkie. T. I–VII, IX–XI), a także szereg pojedynczych utworów polskiego romantyzmu, które ukazywały się w ramach serii wydawniczej „Biblioteka Narodowa”.

Był przewodniczącym Towarzystwa Literackiego im. A. Mickiewicza (1933–1946).

Od stycznia 1942 roku, ze względu na swoje żydowskie pochodzenie, ukrywał się pod fałszywym nazwiskiem na Lubelszczyźnie (Krasnobród, Wilkołaz, Milanów). Od września 1944 roku mieszkał w Lublinie, gdzie w latach 1944–1949 pracował jako profesor w Katedrze Historii Literatury Polskiej Katolickiego Uniwersytetu Lubelskiego. W 1947 roku został profesorem Uniwersytetu Jagiellońskiego, a od kwietnia 1948 roku zaczął tam prowadzić wykłady. Pracował na Uniwersytecie Jagiellońskim aż do śmierci.

Zmarł 23 marca 1957 roku w Krakowie.